Question

已知a＞0且满足不等式2^2a+1＞2^5a-2．
（1）求实数a的取值范围．  
（2）求不等式loga(3x+1)＜loga(7-5x) ．
（3）若函数y=log_a（2x-1）在区间[1，3]有最小值为-2，求实数a值．

Answer 1

分析：（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数a的取值范围．  
（2）根据对数函数的单调性求不等式loga(3x+1)＜loga(7-5x) ．
（3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值．

解答：解：（1）∵2^2a+1＞2^5a-2．
∴2a+1＞5a-2，即3a＜3，
∴a＜1．
（2）∵a＞0，a＜1，∴0＜a＜1，
∵loga(3x+1)＜loga(7-5x) ．
∴等价为

3x+1＞0 7-5x＞0 3x+1＞7-5x

，
即

x＞- 1 3 x＜ 7 5 x＞ 3 4

，
∴

3

4

＜x＜

7

5

，
即不等式的解集为（

3

4

，

7

5

）．
（3）∵0＜a＜1，
∴函数y=log_a（2x-1）在区间[1，3]上为减函数，
∴当x=3时，y有最小值为-2，
即log_a5=-2，
∴a-2=

1

a2

=5，
解得a=

5

5

．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．