题目内容
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.
（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（2）
表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.
（1）
；（2）
.
解析试题分析：记
表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得
分，
；
表示事件：第3次发球，甲得1分；
表示事件：开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2.（1）“开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2”包括以下两种情况：前2次甲得0分第3次得1分和前2次甲得1分第3次得0分,即
.根据互斥事件与独立事件的概率的求法即可得其概率.（2）开始第4次发球时，前面共发球3次，所以乙的得分最多为3分，即的可能取值为0，1，2，3.
，
都很易求出，
在（1）题中已经求得，
最麻烦，可用对立事件的概率公式求得，即
，然后根据期望的公式求得期望.
试题解析：记表示事件：第1次和第二次这两次发球，甲共得分，；表示事件：第3次发球，甲得1分；表示事件：开始第4次发球时，甲乙的比分为1比2.
（1）.
3分
..6分
（2）
.的可能取值为0，1，2，3.
.
.
.
.10分
（或
）
..12分
考点：1、独立事件的概率；2、随机变量的期望.
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，求
，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
| 时间(分钟) | 10～20 | 20～30 | 30～40 | 40～50 | 50～60 |
| L1的频率 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 |
| L2的频率 | 0 | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针地(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．
为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：
| | 患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 |
| 大于40岁 | 16 | | |
| 小于等于40岁 | | 12 | |
| 合计 | | | 40 |
（1）请将
列联表补充完整；（2）已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为
，求的分布列和数学期望；（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？
下面的临界值表供参考：
 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中
） 
，乙组能使生物成活的概率为
，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
，求
；
；
；
个等式并证明；
，求证：
.