Question

（2009•武昌区模拟）已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，-2）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）有最大值1-2

2

？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出函数的导数，利用导数在[-3，-2）恒为正，通过二次函数的最值求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）假设存在正实数a，使得f（x）的导函数f′（x）有最大值1-2

2

，直接求出a的值．
另解：假设存在正实数a，使得f′(x)max=1-2

2

成立．设g(x)=f′(x)=2ax-

2

1-x

，求出g′(x)=2a-

2

(1-x)2

＞0，解得x＜1-

1

a

或x＞1+

1

a

．通过x∈（-∞，1），g（x）在(-∞，1-

1

a

)上单调递增，在上单调递减．得到2a-4

a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（-∞，1）
f′(x)=2ax-

2

1-x

．（2分）
由题意得f′(x)=2ax-

2

1-x

≥0对一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴a≤

1

-x2+x

=

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

．（5分）
当x∈[-3，-2）时，-(x-

1

2

)2+

1

4

＜-6，
∴

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

＞-

1

6

．故a≤-

1

6

．（7分）
（Ⅱ）假设存在正实数a，使得f′(x)max=1-2

2

成立.f′(x)=2ax-

2

1-x

=2a-[2a(1-x)+

2

1-x

]≤2a-2

4a

．（9分）
由2a(1-x)=

2

1-x

，得(1-x)2=

1

a

，
∴x=1±

1

a

．由于x=1+

1

a

＞1，故应舍去．
当x=1-

1

a

时，f′(x)max=2a-2

4a

．（11分）
令2a-2

4a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

．（13分）
另解：假设存在正实数a，使得f′(x)max=1-2

2

成立．
设g(x)=f′(x)=2ax-

2

1-x

，则g′(x)=2a-

2

(1-x)2

．（9分）
由g′(x)=2a-

2

(1-x)2

＞0，解得x＜1-

1

a

或x＞1+

1

a

．
因为x∈（-∞，1），
∴g（x）在(-∞，1-

1

a

)上单调递增，在上单调递减．
∴f′(x)max=g(1-

1

a

)=2a-4

a

．（11分）
令2a-4

a

=1-2

2

，解得a=

1

2

或a=

9

2

-2

2

．（14分）

点评：本题只要考查求函数的导数以及函数的最值问题，体现转化的数学思想，特别注意新变量的取值范围，同时也考查了二次函数在定区间上的最值问题，恒成立问题，属中档题．