Question

（2009•武昌区模拟）已知四棱锥 P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；  
（Ⅱ）求二面角P-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 取BC的中点H，连接PH，连接AH交BD于E．根据三垂线定理，只需证明AH⊥BD即可．
（Ⅱ）连接PE，则由（Ⅰ）知PE⊥BD．∴∠PEH为所求二面角的平面角．在直角三角形PEH中求解．

解答：解：（Ⅰ）取BC的中点H，连接PH，连接AH交BD于E．
∵BC=PB=PC，∴PH⊥BC．
又面PBC⊥面ABCD，
∴PH⊥面ABCD．
∵tan∠HAB=tan∠DBC=

1

2

，
∴∠HAB=∠DBC．
∵∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠HAB+∠DBA=90°
∠AEB=90°，即AH⊥BD．
因为AH为PA在平面ABCD上的射影，∴PA⊥BD．
（Ⅱ）连接PE，则由（Ⅰ）知PE⊥BD．
∴∠PEH为所求二面角的平面角．
在△DBC中，由tan∠DBC=

1

2

，求得sin∠DBC=

1

5

．
∴tan∠PEH=

PH

HE

=

BHtan60°

BHsin∠DBC

=

3

1 5

=

15

．
即所求二面角的正切值为

15

．

点评：本题考查直线和平面位置关系及其判定，二面角求解，考查转化的思想方法（线线垂直与线面垂直互化）空间想象能力，计算能力．