Question

（05年湖北卷理）（12分）

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，

BC=1，PA=2，E为PD的中点.

   （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

 

Answer 1

解析：解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

 

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、

P（0，0，2）、E（0，，1），从而

设的夹角为θ，则

∴AC与PB所成角的余弦值为.

   （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则

，由NE⊥面PAC可得，

  ∴

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.

解法2：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

在△AOE中，AO=1，OE=

∴

即AC与PB所成角的余弦值为.

 （Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.

连PF，则在Rt△ADF中

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.

∴N点到AB的距离，N点到AP的距离