Question

已知f（x）=log_a

1-x

1+x

（a＞0，且a≠1）
（1）求f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值；
（2）当x∈[-t，t]（其中t∈（-1，1），且t为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）当a＞1时，求满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的结构特点，先利用定义判断函数的奇偶性，由奇偶性的性质即可求得结果；
（2）先利用定义判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，从而可知f（x）在[-t，t]上的单调性，由单调性即可求得f（x）的最小值；
（3）利用函数f（x）的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可；

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得：-1＜x＜1，所以f（x）的定义域为（-1，1），
又f（-x）=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-log_a

1-x

1+x

=-f（x），∴f（x）为奇函数，
∴f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）=0．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则

1-x1

1+x1

-

1-x2

1+x2

=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴

1-x1

1+x1

＞

1-x2

1+x2

，
当a＞1时，f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（-1，1）上是减函数，
又t∈（-1，1），所以x∈[-t，t]时，f（x）有最小值，且最小值为f（t）=loga

1-t

1+t

；
当0＜a＜1时，f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（-1，1）上是增函数，
又t∈（-1，1），所以x∈[-t，t]时，f（x）有最小值，且最小值为f（-t）=loga

1+t

1-t

．
（3）由（1）及f（x-2）+f（4-3x）≥0，得f（x-2）≥-f（4-3x）=f（3x-4），
∵a＞1，∴f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴

x-2≤3x-4 -1＜x-2＜1 -1＜3x-4＜1

，解得1＜x＜

5

3

，
∴x的取值范围是（1，

5

3

）．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合、对数的运算性质及函数求值，考查抽象不等式的求解，解抽象不等式的基本思路是利用函数性质转化为具体不等式．