Question

(本小题15分)

已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数 的取值范围。

      

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，函数， ．         　　　　　　　　　　　    

， 

曲线在点处的切线的斜率为．    …………2分

从而曲线在点处的切线方程为，

即．                                                 ………3分                   

（Ⅱ）．                          …………4分

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.                                          ……………5分

由题意＞0，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，

只需，即，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是.       ………7分

    也可用分离参数法挺好

（Ⅲ）∵在上是减函数，

  ∴时，； 时，，即， ……8分

①当＜0时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，∴ 在内是减函数．

当时，，因为，所以＜0，＜0，

    此时，在内是减函数．   

故当时，在上单调递减，不合题意……10分

②当0＜＜1时，由，

所以．

又由（Ⅱ）知当时，在上是增函数，

 ∴＜，不合题意； ……………12分

③当时，由（Ⅱ）知在上是增函数，，

又在上是减函数，

故只需＞，，

而，，即  ，

  解得＞ ，所以实数的取值范围是.    ……15分