题目内容

如图所示，已知椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0交于A、B两点，|AB|=2，线段AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值.

思路解析：由已知弦长，可联立方程组根据韦达定理建立关系式求解.

解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0）.

由得（a+b）x2-2bx+b-1=0.

由根与系数的关系,得

∴x0==.

又∵M（x0，y0）在直线x+y-1=0上，∴y0=1-x0=.

故OM的斜率为==                                               ①.

又|AB|=|x1-x2|=

===2             ②.

由①②知

深化升华

    直线l与椭圆+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，线段AB的中点为M，则l的斜率kl与OM（O为坐标原点）的斜率kOM的积kl·kOM=-（两直线斜率均存在时），本题若用这一结论求解会更简单.


练习册系列答案
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精英家教网如图所示，已知椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（　　）
A、
2
2
B、
3
3
C、
6
3
D、
2
2
3
（文）如图所示：已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，F1、F2为其左、右焦点，A为右顶点，过F1的直线l与椭圆相交于P、Q两点，且有
1
|PF1|
+
1
|QF|
=2．
（1）求椭圆长半轴长a的取值范围；
（2）若
AP
•
AQ
=a2且a∈(
4
3
，
9
5
)，求直线l的斜率的取值范围．
如图所示，已知椭圆C的离心率为
3
2
，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且S△ABF=1-
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为2
3
，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．
如图所示，已知椭圆C：x2+
y2
a2
=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=
a2-1
与椭圆C相交于P，Q两点，且满足
AP
•
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2
．
（1）试用a表示m2；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（
1
3
，
1
2
），求m的取值范围．

(吉林实验中学模拟)如图所示，已知椭圆(a＞b＞0)，、分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点B．

(1)若，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程．

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