Question

如图所示，已知椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，则椭圆的离心率等于（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  3

• C、

  6

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

分析：由图形知|BC|=a，且BC∥OA由椭圆的对称性知，B，C两点关于y轴对称，由此可以求出两点的坐标，再连接OC，有∠OAB=45°及平行的性质，椭圆的对称性，令椭圆的右端点为M，则有∠COM=∠CMO=∠OAB=45°由此可得CO垂直于MC，由此垂直关系建立方程即可求得离心率的值．

解答：解：令椭圆的右端点为M，连接CM，由题意四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=45°，B，C在椭圆上，可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°，则有∠OCM=90°，故可得k_OC×k_CM=-1
又四边形OABC为平行四边形，B，C在椭圆上，由图形知|BC|=a，且BC∥OA由椭圆的对称性知，B，C两点关于y轴对称，故C的横坐标为

a

2

，代入椭圆的方程得

( a 2 )2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

3

2

b，
由图形知C（

a

2

，

3

2

b），故有kOC=

3 b 2

a 2

，kCM=

3 b 2

- a 2

，所以有

3 b 2

a 2

×

3 b 2

- a 2

=-1解得a²=3b²，故可得c²=2b²，所以e²=

2

3

，得e=

6

3

故选C

点评：本题考查椭圆的简单性质，求解本题的关键是根据椭圆的对称性得出点C的坐标以及图形中的垂直关系，求出点C的坐标是为了表示出斜率，求出垂直关系是为了利用斜率的乘积为-1建立方程，然后再根据求离心率的公式求出离心率即可．本题比较抽象，方法单一，入手较难，运算量不大．