Question

（文）如图所示：已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁、F₂为其左、右焦点，A为右顶点，过F₁的直线l与椭圆相交于P、Q两点，且有

1

|PF1|

+

1

|QF|

=2．
（1）求椭圆长半轴长a的取值范围；
（2）若

AP

•

AQ

=a2且a∈(

4

3

，

9

5

)，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分类讨论：若直线l与x轴垂直，容易得到

1

|PF1|

+

1

|QF1|

=

2a

b2

；若直线l与x轴不垂直，则如图分别过点P、Q，作左准线的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，利用△PF₁F∽△PQS得出比例式，从而有：

2a

b2

=2⇒a=b2，所以a²＞a＞0，得到a的取值范围；
（2）设直线l的方程为x=my-c代入椭圆方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量数量积公式即可求得m与a的关系式，再利用m² 的范围，从而求直线l的斜率的取值范围．

解答：解：（文）（1）若直线l与x轴垂直，容易得到

1

|PF1|

+

1

|QF1|

=

2a

b2

若直线l与x轴不垂直，则如图分别过点P、Q
作左准线的垂线，垂足分别为P₁，Q₁，
得到：|PP1|=

a|F1P|

c

，QQ1=

a|F1Q|

c

，
∵△PF₁F∽△PQS
∴

b2 c - a|PF1| c

a|QF1| c - a|PF1| c

=

|PF1|

|PF1|+|QF1|

⇒b2(|PF1|+|QF1|)-a|PF1|2-a|PF1|•|QF1|=a|PF₁|•|QF₁|-a|PF₁|²
所以

1

|PF1|

+

1

|QF1|

=

2a

b2

…（4分）
从而有：

2a

b2

=2⇒a=b2，所以a²＞a＞0得到：a＞1；  …（6分）
（2）设直线l的方程为x=my-c代入椭圆方程得到：（a²+b²m²）y²-2b²cmy-b⁴=0，
设，则有：y1+y2=

2b2m

a2+b2m2

，y1y2=

-4

a2+b2m2

，
所以x1+x2=m(y1+y2)-2c=

-2a2c

a2+b2m2

，
x1•x2=(my1-c)•(my2-c)=m2y1y2-mc(y1+y2)+c2=

a2(-b2m2+c2)

a2+b2m2

，…（9分）
得到

AP

•

AQ

=(x1-a)(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+y1y2
=

a2(a+c)2

a2+b2m2

-

b4

a2+b2m2

=a2⇒

a2(a+c)2-a2

a2+b2m2

=a2
⇒m2=

2ac+c2-1

a

=2

a2-a

+a-1-

1

a

，…（12分）
当a∈(

4

3

，

9

5

)时，m²随着a增大而增大，所以

11

12

＜m2＜

119

45

，
所以斜率k满足：

45

119

＜k2＜

12

11

，
所以斜率的取值范围是 [-

2 33

11

，-

3 595

119

]∪[

3 595

119

，

2 33

11

]…（14分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、椭圆的简单性质、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．