Question

（2013•婺城区模拟）已知抛物线C：

y

2

=2px(p＞0)，M点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足

ON

=

3

4

OM

，O为坐标原点．
（I）求抛物线C的方程；
（II）以M点为起点的任意两条射线l₁，l₂的斜率乘积为l，并且l₁与抛物线C交于A、B两点，l₂与抛物线C交于D、E两点，线段AB、DE的中点分别为G、H两点．求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量线段即可得到点N的坐标，代入抛物线C的方程即可得到p的值，从而得到抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁，l₂，的方程，与抛物线C的方程联立，利用根与系数的关系即可得到中点G，H的坐标，从而得到直线GH的方程，令y=0，只要x是一个常数即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

ON

=

3

4

OM

，点M（12，8），∴

ON

=(9，6)，即N（9，6）．
又∵点N在抛物线C上，∴6²=18p，解得p=2．
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）由题意可知：直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，
设l₁：y=k（x-12）+8，则l₂：y=

1

k

(x-12)+8．
由

y=k(x-12)+8 y2=4x

得到ky²-4y+32-48k=0，
是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

4

k

．
又y₁+y₂=k（x₁+x₂-24）+16，
∴x₁+x₂=

4

k2

-

16

k

+24，
∴线段AB的中点G(

2

k2

-

8

k

+12，

2

k

)．
用

1

k

代替k即可得到点H（2k²-8k+12，2k）．
∴k_GH=

2(k- 1 k )

2(k2- 1 k2 )-8(k- 1 k )

=

1

k+ 1 k -4

=

k

k2-4k+1

．

∴直线GH：y-2k=

k

k2-4k+1

[x-(2k2-8k+12)]，
令y=0，得到x=10．
∴直线GH过定点（10，0）．

点评：熟练掌握向量的运算法则、抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题、根与系数的关系、斜率计算公式、点斜式、中点坐标公式是解题的关键．