题目内容

(2013•婺城区模拟)在△ABC中,已知
AB
AC
=9,sinB=cosA•sinC,S△ABC=6,P为线段AB上的点,且
CP
=x
CA
|
CA
|
+y
CB
|
CB
|
,则xy的最大值为(  )
分析:△ABC中设AB=c,BC=a,AC=b,由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值,再由
AB
AC
=9,S△ABC=6可得bccosA=9,
1
2
bcsinA=6可求得c,b,a,建立以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系,由P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得
CP
CA
+(1-λ)
CB
=(3λ,4-4λ)(0≤λ≤1),设
CA
|
CA
|
=
e1
CB
|
CB
|
=
e2
则|
e1
|=|
e2
|=1,
e1
=(1,0),
e2
=(0,1),由
CP
=x
CA
|
CA
|
+y
CB
|
CB
|
推出x与y的关系式,利用基本不等式求解最大值.
解答:解:△ABC中设AB=c,BC=a,AC=b
∵sinB=cosA•sinC,sin(A+C)=sinCcosnA,即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0
∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
AB
AC
=9,S△ABC=6
∴bccosA=9,
1
2
bcsinA=6
∴tanA=
4
3
,根据直角三角形可得sinA=
4
5
,cosA=
3
5
,bc=15
∴c=5,b=3,a=4
以AC所在的直线为x轴,以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0,0)A(3,0)B(0,4)
P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得
CP
CA
+(1-λ)
CB
=(3λ,4-4λ)(0≤λ≤1)
CA
|
CA
|
=
e1
CB
|
CB
|
=
e2
则|
e1
|=|
e2
|=1,
e1
=(1,0),
e2
=(0,1),
CP
=x
CA
|
CA
|
+y
CB
|
CB
|
=(x,0)+(0,y)=(x,y)可得x=3λ,y=4-4λ则4x+3y=12,
12=4x+3y≥2
12xy
,xy≤3
故所求的xy最大值为:3.
故选C.
点评:本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解把已知所给的
CA
|
CA
|
是一个单位向量,从而可用x,y表示
CP
,建立x,y与λ的关系,解决本题的第二个关键点在于由x=3λ,y=4-4λ发现4x+3y=12为定值,从而考虑利用基本不等式求解最大值.
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