Question

【题目】已知是各项均为正数的无穷数列，且满足，.

（1）若，，求a的值；

（2）设数列满足，其前n项的和为.

①求证：是等差数列；

②若对于任意的，都存在，使得成立.求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

（1）因为，所以此时单调递增，，将，代入，解出，同理将，的值代入可得出答案.
（2）①由题意，，由，得,当成立，当时，可得和,两式相减化简可得，从而可证明.
②由①可得，又存在，使得成立，即，当成立，当时，.

当时，；当时，必为整数，即，要证，只需证即证，因为，只需证明即可.

（1）是各项均为正数的无穷数列，

解：因为，所以此时单调递增，

又

所以令，得，即，

平方整理得.

因为，所以；

同理令，得，即，

平方整理得.因为，所以，因此.

（2）证明：①由题意，，由，得.

当时，，所以是公差为0的等差数列.

当时，因为

所以①，

从而有②.

①-②，得，

化简得.

因为，且数列的各项均为正数，，

所以，从而，因此.

因为，所以.

综上，是公差为d的等差数列.

②因为是公差为d的等差数列，所以.

因为对于任意的，都存在，使得，

所以有，

整理得.

ⅰ.若，则，结论成立.

ⅱ.若，.

当时，.

当时，必为整数，即.

因为，

所以，，所以，

从而.

下证，即证，

从而只要证，

因此要证.

记，则.

记，则，

所以，

从而，

所以.