Question

若函数f（x）=x³-3x在（a，8-a²）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-

  7

  ，1）
• B、[-

  7

  ，1）
• C、[-2，1）
• D、（-2，1）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由导数性质得f（x）的增区间是（-∞，-1），（1，+∞），减区间是（-1，1），x=1时，f（x）_min=-2．由此利用函数性质能求出-2＜a＜1．

解答： 解：∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0，得x=±1，
x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0；
x∈（-1，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的增区间是（-∞，-1），（1，+∞），减区间是（-1，1），
∴x=1时，f（x）_min=-2．
f（x）=x³-3x=-2时，
x³-3x+2=0，x³-x-2x+2=0，
x（x²-1）-2x+2=0，
x（x+1）（x-1）-2（x-1）=0，
（x²+x）（x-1）-2（x-1）=0，
（x-1）（x²+x-2）=0，
（x-1）（x+2）（x-1）=0，
（x-1）²（x+2）=0，
x=1，x=-2，
∴-2＜a＜1＜8-a²
∴-2＜a＜1．
故选：C．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．