题目内容

设平面向量数学公式=（cosx，sinx），数学公式，数学公式，x∈R，
（Ⅰ）若数学公式，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若数学公式，证明数学公式和数学公式不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函数数学公式的最大值，并求出相应的x值．

解：（Ⅰ）若，则 ，cosxsinα+sinxcosα=0，sin（x+α）=0
所以，cos（2x+2α）=1-2sin2（x+α）=1．
（Ⅱ）假设与平行，则 ，即 sinx=0，
而时，sinx＞0，矛盾，故 和不可能平行．
（Ⅲ）若，
则
=cosx=1-2sinx+2，
所以，．
分析：（Ⅰ）利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，以及二倍角的余弦公式求得cos（2x+2α）的值．
（Ⅱ）假设与平行，则 ，即 sinx=0，与已知矛盾．
（Ⅲ）若α=0，则，函数═1-2sinx+2，
利用正弦函数的有界性求出函数的最值．
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量平行、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算．
练习册系列答案
相关题目
设平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，证明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函数f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相应的x值．
已知及是实数集，x∈R，平面向量
a
=（1，sin2x-cos2x），平面向量
b
=（cos（2x-
π
3
），1），函数f（x）=
a
•
b
．
（I ）求f（x）的最小正周期；
（II ）设函数F（x）=[f（x）]2+f（x），求F（x）的值域．
请先阅读：
设平面向量
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），且
a
与
b
的夹角为θ，
因为
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ，
所以
a
•
b
≤|
a
||
b
|．
即a1b1+a2b2≤
a
2
1
+
a
2
2
×
b
2
1
+
b
2
2
，
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
)(
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
)成立；
（II）试求函数y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值．
设平面向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(-
1
2
，
3
2
)．
①求证：向量
a
+
b
与
a
-
b
垂直．
②当两个向量
3
a
+
b
与
a
-
3
b
的模相等时，且α∈(0，
π
2
)，求角α．
请先阅读：
设平面向量=（a1，a2），=（b1，b2），且与的夹角为θ，
因为•=||||cosθ，
所以•≤||||．
即，
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有成立；
（II）试求函数的最大值．

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