Question

已知及是实数集，x∈R，平面向量

a

=（1，sin²x-cos²x），平面向量

b

=（cos（2x-

π

3

），1），函数f（x）=

a

•

b

．
（I ）求f（x）的最小正周期；
（II ）设函数F（x）=[f（x）]²+f（x），求F（x）的值域．

Answer 1

分析：（I ）通过向量的数量积，化简函数的表达式得到一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最小正周期；
（II ）化简函数F（x）=[f（x）]²+f（x），通过配方得到[sin（2x-

π

6

）+

1

2

]²-

1

4

，然后求出函数的最值，即可求F（x）的值域．

解答：解：（I ）平面向量

a

=（1，sin²x-cos²x），平面向量

b

=（cos（2x-

π

3

），1），函数f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=cos（2x-

π

3

）-cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin（2x-

π

6

）．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II ）F（x）=[f（x）]²+f（x）=sin²（2x-

π

6

）+sin（2x-

π

6

）
=[sin（2x-

π

6

）+

1

2

]²-

1

4

当sin（2x-

π

6

）=-

1

2

时，F（x）的最小值为-

1

4

；当sin（2x-

π

6

）=1时，F（x）取得最大值为2．
F（x）的值域为[-

1

4

，2]

点评：本题是中档题，通过向量的数量积的应用，化简三角函数的表达式，求出函数的最值，周期，考查计算能力，常考题型．