Question

已知椭圆（a＞b＞0）的一条准线方程为l：x=2，离心率为，过椭圆的下顶点B（0，-b）任作直线l₁与椭圆交于另一点P，与准线交于点Q．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若BP=2PQ，求直线直线l₁的方程；
（3）以BQ为直径的圆与椭圆及准线l分别交于点M（异于点B），问：BQ⊥MN能否成立？若成立，求出所有满足条件的直线l₁的方程；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆准线方程为l：x=2，离心率为，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程；
（2）利用BP=2PQ，确定P、Q坐标之间的关系，利用代入法可求Q的坐标，从而可求直线l₁的方程；
（3）分类讨论，确定圆的方程，从而可得M、N的坐标，即可求得结论．
解答：解：（1）由题意，，∴，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为；
（2）设P（x₁，y₁），Q点坐标为（2，y），则
∵BP=2PQ，B点为（0，-1）
∴x₁=，y₁=y-         
P点代入椭圆：（y-）²=1
∴y²-y=0
∴y=0或y=1
∴Q（2，0）或（2，1）
∴直线l₁的方程为y=x-1或y=x-1；
（3）因为有两条直线，分别考虑
①y=x-1，此时，以（0，-1）（2，1）两点连线为直径做圆，圆心为 （1，0），半径r=，则此圆方程为：（x-1）²+y²=2
圆与椭圆方程、准线方程联立，可得M为（0，1），N为（2，-1）
∴MN的斜率为：k₁==-1，
∵BQ斜率为k₂=1，
∵k₁k₂=-1，∴BQ⊥MN；
②当另一条直线：y=x-1时，过（0，-1）（2，0）两点连线为直径做圆，圆心（1，-），r=，则此圆方程（x-1）²+（y+）²=
圆与准线方程联立，可得N为（2，-1），由（1）知M（0，1）满足，故此时不满足BQ⊥MN，
综上，满足条件的直线l₁的方程为y=x-1
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．