Question

某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品,两道工序的加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品.

(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙.

表一

(2)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润,在(1)的条件下,求ξ、η的分布列及Eξ、Eη.

表二

(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名,可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在(2)的条件下,x、y为何值时,z=xEξ+yEη最大?最大值是多少?(解答时需给出图示)

表三

Answer 1

解:(1)P_甲=0.8×0.85=0.68,P_乙=0.75×0.8=0.6.

    (2)随机变量ξ、η的分布列是

ξ	5	2.5
P	0.68	0.32

 

η	2.5	1.5
P	0.6	0.4

    Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2,

    Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1.

    (3)由题设知

    目标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y.作出可行域(如图):

    作直线l:4.2x+2.1y=0,

    将l向右上方平移至l₁位置时,直线经过可行域上的点M且与原点距离最大,此时z=4.2x+2.1y取最大值.

    解方程组

    得

    故x=4,y=4时,z取最大值,z的最大值为25.2.