题目内容

已知各项不为零数列{an}满足a1=
2
3
，且对任意的正整数m，n都有am+n=am•an，求：
（1）
an
a1n
的值；
（2）(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2的值．
分析：（1）令m=1，推导出
an+1
an
=
2
3
，从而得到数列{an}是首项为a1=
2
3
，公比为q=
2
3
的等比数列，由此能求出
an
a1n 
的值．
（2）由
an+1
an
=
2
3
，把(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2等价转化为(
2
3
)2014+(
2
3
)2012+…+(
2
3
)2，再由等比数列的前n项和公式能求出结果．
解答：解：（1）令m=1，得an+1=a1•an，…（3分）
∵an≠0，∴
an+1
an
=a1=
2
3
，…（4分）
∴数列{an}是首项为a1=
2
3
，公比为q=
2
3
的等比数列 …（5分）
于是an=
2
3
•（
2
3
）（n-1）=（
2
3
）n，
∴
an
a1n 
=1．…（7分）
（2）∵
an+1
an
=a1=
2
3
，
∴(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2
=(
2
3
)2014+(
2
3
)2012+…+(
2
3
)2…（9分）
=
(
2
3
)2(1-(
2
3
)2•1007)
1-(
2
3
)2
…（11分）
=
4(1-(
2
3
)2•1007)
5
…（12分）
点评：本题考查数列递推公式的应用，考查数列前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等比数列前n项和公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
（2008•湖北模拟）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0、2，且f(-2)＜-
1
2
．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1，求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）设bn=-
1
an
，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2008-1＜ln2008＜T2007．
对于函数f（x），若存在xo∈R，使f（xo）=xo成立，则称xo为f（x）的不动点．如果函数f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f（
1
an
）=1，求证：-
1
an+1
＜ln
n+1
n
＜-
1
an
；
（3）设bn=-
1
an
，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009-1＜ln2009＜T2008．
对于函数f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，如果函数f(x)=
x2
ax-b
（a，b∈N）有且只有两个不动点为0、2，且b＜3．
（1）求函数f（x）的解析式并写出函数f（x）的定义域；
（2）已知各项不为零的数列{an}满足：4Sn•f(
1
an
)=1，且Sn=a1+a2+…+an，Tn=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
，求Tn．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（-2）＜-
1
2
，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f（
1
an
）=1，求数列通项an；
（3）如果数列{an}满足a1=4，an+1=f（an），求证：当n≥2时，恒有an＜3成立．

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