Question

对于函数f（x），若存在x_o∈R，使f（x_o）=x_o成立，则称x_o为f（x）的不动点．如果函数f（x）=

x2+a

bx-c

（b，c∈N^*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-

1

2

．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足4S_n•f（

1

an

）=1，求证：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

；
（3）设b_n=-

1

an

，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer 1

分析：（1）设

x2+a

bx-c

=x，则（1-b）x²+cx+a=0（b≠1），故

2+0=- c 1-b 2×0= a 1-b

，f（x）=

x2

(1+ c 2 )x-c

．由f（-2）=

-2

1+c

＜-

1

2

，知-1＜c＜3，由b，c∈N^*，知c=2，b=2，f（x）=

x2

2(x-1)

（x≠1）．于是f′（x）=

2x•2(x-1)-x2•2

4(x-1)2

=

x2-2x

2(x-1)2

．由此能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由2S_n=a_n-a_n²，知2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，故a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1．待证不等式为

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．考虑证明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0．由此入手能够证明-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

．
（3）由b_n=

1

n

，知T_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…2008，并将各式相加能够证明T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

解答：解：（1）设

x2+a

bx-c

=x⇒（1-b）x²+cx+a=0（b≠1）
⇒

2+0=- c 1-b 2×0= a 1-b

，∴

a=0 b=1+ c 2

，∴f（x）=

x2

(1+ c 2 )x-c

由f（-2）=

-2

1+c

＜-

1

2

⇒-1＜c＜3，又∵b，c∈N^*，∴c=2，b=2，
∴f（x）=

x2

2(x-1)

（x≠1）…（3分）
于是f′（x）=

2x•2(x-1)-x2•2

4(x-1)2

=

x2-2x

2(x-1)2

由f′（x）＞0得x＜0或x＞2；   由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2，
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
单调减区间为（0，1）和（1，2）…（4分）
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²
两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，
当n=1时，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，若a_n=-a_n-1，则a₂=1这与a_n≠1矛盾
∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n                       …（6分）
于是，待证不等式即为

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．
为此，我们考虑证明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0．
令1=

1

x

=t，x＞0，则t＞1，x=

1

t-1

，
再令g（t）=t-lnt，g′（t）=1-

1

t

，
    由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0．
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增
∴g（t）＞g（1）=0，
  于是t-1＞lnt，即

1

x

＞ln

x+1

x

，x＞0    　　　 ①
令h（t）=lnt-1+

1

t

，h′（t）=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

，
由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0，
∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增
∴h（t）＞h（1）=0   于是lnt＞1-

1

t

即ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0　　　　 ②
由①、②可知

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0                  …（10分）
所以，

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，即-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

       …（11分）
（3）由（2）可知b_n=

1

n

   则T_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…2008，并将各式相加得

1

2

+

1

3

+…+

1

2009

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

2009

2008

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2008

即T₂₀₀₉-1＜ln2009＜T₂₀₀₈．                         …（14分）

点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．