Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点，如果函数f(x)=

x2

ax-b

（a，b∈N）有且只有两个不动点为0、2，且b＜3．
（1）求函数f（x）的解析式并写出函数f（x）的定义域；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足：4Sn•f(

1

an

)=1，且S_n=a₁+a₂+…+a_n，Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）设

x2

ax-b

=x得：（a-1）x²-bx=0，函数f(x)=

x2

ax-b

（a，b∈N）有且只有两个不动点为0、2，由根与系数的关系，得b=2a-2．由b＜3，知a＜

5

2

，a∈N，b∈N，得f(x)=

x2

2x-2

，由此能求出其定义域．
（2）由题意，知 4Sn•

( 1 an )2

2( 1 an -1)

=1，所以，2S_n=a_n-a_n² ①；又a_n≠1，把n-1代替n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
①-②得：a_n，a_n-1的关系，从而得数列{a_n}是等差数列，通项公式为a_n=-n；由此能够求出T_n．

解答：解：（1）设

x2

ax-b

=x得：（a-1）x²-bx=0，
∵函数f(x)=

x2

ax-b

（a，b∈N）有且只有两个不动点为0、2，
∴由根与系数的关系，得：

2+0= b a-1 2×0=0

，
∴b=2a-2．
∵b＜3，
∴2a-2＜3，a＜

5

2

，
∵a∈N，b∈N，
∴a=2，b=2．
∴f(x)=

x2

2x-2

，
定义域是{x|2x-2≠0}，解得{x|x≠1}．
（2）由题设，知 4Sn•

( 1 an )2

2( 1 an -1)

=1，所以，2S_n=a_n-a_n² ①；
且a_n≠1，以n-1代n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
由①-②得：2a_n=（a_n-a_n-1）-（a_n²-a_n-1²），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，以n=1代入①得：2a₁=a₁-a₁²，
解得a₁=0（舍去）或a₁=-1；由a₁=-1，若a_n=-a_n-1得a₂=1，这与a_n≠1矛盾，
∴a_n-a_n-1=-1，即{a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴a_n=-n；
∴S_n=（-1）+（-2）+（-3）+…+（-n）=-

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=-(

1

n

-

1

n+1

)=

1

n+1

 -

1

n

，
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=（

1

2

-1）+（

1

3

-

1

2

）+（

1

4

-

1

3

）+…+（

1

n+1

-

1

n

）
=

1

n+1

-1
=-

n

n+1

．

点评：本题考查了数列与函数的综合应用，也考查了不等式的应用问题，是较难的综合题，容易出错；解题时要细心分析，精心作答，避免出错．