Question

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F₁、F₂,直线l过F₂且与直线F₁F₂的夹角为φ,,l与线段F₁F₂的垂直平分线的交点是P,线段PF₂与双曲线C的交点为Q,且|PQ|∶|QF₂|=2∶1,求双曲线C的方程.

Answer 1

解:如图,以F₁F₂所在直线为x轴,线段F₁F₂的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,

设双曲线C的方程为(a＞0,b＞0).

又设F₁(-c,0),F₂(c,0),其中,则.

由线段的定比分点坐标公式,得.

将Q点坐标代入双曲线方程,得,

即16()⁴-41()²-21=0,

解之得()²=3或()²=(舍去).

∴.又由,解得a=1,.

∴所求双曲线方程为.