Question

已知双曲线C的两个焦点为F₁，F₂，实半轴长与虚半轴长的乘积为

3

，直线l过点F₂，且与线段F₁F₂的夹角为α，tanα=

21

2

，直线l与线段F₁F₂的垂直平分线的交点为P，线段PF₂与双曲线的交点为Q，且

PQ

=2

QF2

，求双曲线方程．

Answer 1

分析：设出双曲线的标准方程，和Q的坐标，过Q做x轴垂线，垂足为A，|根据，|PQ|：|QF₂|=|OA|：|AF|和|OA|+|AF|=c，推断出：|OA|=

2

3

c=x，|AF₂|=

c

3

，进而根据tanα求得y的表达式，则Q点坐标可知，代入椭圆方程同时利用c²=a²+b²转化成关于

b2

a2

的方程，求得

b2

a2

的值，进而根据ab=

3

联立求得a和b，则双曲线的方程可得．

解答：解：双曲线方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，Q（x，y），F₂（c，0），
过Q做x轴垂线，垂足为A，|PQ|：|QF₂|=2：1=|OA|：|AF|，|OA|+|AF|=c，
所以：|OA|=

2

3

c=x，|AF₂|=

c

3

，
tanα=

21

2

=

y

|AF|

∴y=

21 c

6

，即：Q（

2

3

C，

21 c

6

）
代入方程，

4c2

9a2

-

7c2

12b2

=1，
∵c²=a²+b²代入，化简：

16b2

a2

-

21a2

6b 2

-41=0，
令

b2

a2

=k，
16k²-41k-21=0，
（k-3）（16k+7）=0，
k=3或-

7

16

（负舍）
即：

b2

a2

=3，又ab=

3

，解方程组，得
a=1，b=

3

，
故双曲线方程为：x²-

y2

3

=1．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是尽可能多的从条件中挖掘有效信息，综合运用所学知识．