题目内容

已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…，n}的所有3个元素的子集记为 $数学公式$ ．
（1）当n=5时，求集合 $数学公式$ 中所有元素之和．
（2）设m_i为A_i中的最小元素，设P_n= $数学公式$ ，试求P_n．

解：（1）当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有 $\text{[math]}$ 个，所以含有数字1的几何有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个，
于是所求元素之和为 $\text{[math]}$ …（5分）
（2）证明：不难得到1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，并且以1为最小元素的子集有 $\text{[math]}$ 个，以2为最小元素的子集有 $\text{[math]}$ 个，以3为最小元素的子集有 $\text{[math]}$ ，…，以n-2为最小元素的子集有 $\text{[math]}$ 个，
则 $\text{[math]}$ …（8分）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（10分）
分析：（1）由题意可知集合A中的元素，组成集合A的子集的元素，出现的概率相等，求出每个元素出现的次数，即可求出所有元素的和．
（2）若m_i为A_i中的最小元素，则应有1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，若1为某个子集的最小元素，则这样的子集个数有 $\text{[math]}$ 个，若2为某个子集的最小元素，则这个集合中，必不再有1，另外两元素取自剩余的n-2个数字中，有 $\text{[math]}$ 个，，…，以n-2为最小元素的子集有 $\text{[math]}$ 个，利用组合数性质
点评：本题考查了子集的概念，组合的概念及性质，分类讨论的思想方法，考查推理、计算能力．两题中得出含有相关数字出现的次数是关键．