Question

（2013•临沂三模）设△ABC所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=-

1

4

．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）求cos（A-C）．

Answer 1

分析：（I）根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，代入题中数据即得边c的大小；
（II）根据cosC=-

1

4

，可得C为钝角且sinC=

1-cos2C

=

15

4

．再由正弦定理，算出sinA=

asinC

c

=

15

8

，结合同角三角函数的基本关系算出cosA=

7

8

，最后利用两角差的余弦公式即可算出的值cos（A-C）．

解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a=2，b=3，cosC=-

1

4

，
∴根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，…（2分）
得c²=22+32-2×2×3×(-

1

4

)=16，解之得c=4．…（4分）
（Ⅱ）在△ABC中，∵cosC=-

1

4

＜0
∴sinC=

1-cos2C

=

1-(- 1 4 )2

=

15

4

，且C为钝角．…（6分）
∵根据正弦定理，得

a

sinA

=

c

sinC

∴sinA=

asinC

c

=

2× 15 4

4

=

15

8

，…（8分）
∴由A为锐角，得cosA=

1-sin2A

=

1-( 15 8 )2

=

7

8

，…（10分）
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=

7

8

×(-

1

4

)+

15

8

×

15

4

=

1

4

．…（12分）

点评：本题给出三角形中的两边及其夹角，求第三边的长并依此求特殊三角函数的值．着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式等知识，属于中档题．