Question

14．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，异面直线A₁C₁与B₁C所成的角是60°，直线A₁C与平面ABCD所成角的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，二面角A₁-BD-A所成角的值是arctan$\sqrt{2}$，直线B₁C₁到平面ABCD的距离为B₁B．

Answer 1

分析 由直线A₁C₁∥AC，得∠B₁CA是异面直线A₁C₁与B₁C所成的角，由此能求出异面直线A₁C₁与B₁C所成的角．找出直线A₁C与平面ABCD所成角、二面角A₁-BD-A所成角、直线B₁C₁到平面ABCD的距离，即可得出结论．

解答 解：如图，∵直线A₁C₁∥AC，
∴∠B₁CA是异面直线A₁C₁与B₁C所成的角，
连结AB₁，AC，
∵△ACB₁是等边三角形，
∴∠B₁CA=60°．
∴异面直线A₁C₁与B₁C所成的角是60°．
∠A₁CA为直线A₁C与平面ABCD所成角，正切值是$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
连接BD，与AC交于O，连接A₁O，则∠A₁OA为二面角A₁-BD-A所成角，
正切值是$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，∴二面角A₁-BD-A所成角的值是arctan$\sqrt{2}$，
直线B₁C₁到平面ABCD的距离为B₁B．
故答案为：60°，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．arctan$\sqrt{2}$，B₁B．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．