Question

（分）是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心．

Answer 1

略

：如图，连，由，则圆心在上，设直径交于，并简记的三内角为，由


，
所以∽，得，且，故∽，而，
注意，，
所以，因此，同理得，故与重合，即圆心在上，而，
，所以平分；
同理得平分，即是的内心，是的旁心．
证二：如图，因为，故的外接圆圆心在上，连，则由为内心知，
， 所以
，
于是四点共圆，所以
，又因，因此点在上，即为与的交点．设与交于另一点，而由，
，可知，分别为的中点，所以，
．因此，点分别为的内心与旁心．