Question

8．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f（x₀）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点，现有函数f（x）=e^x+mx是区间[0，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2-e]
• B． （-∞，2-e）
• C． [2-e，+∞）
• D． （2-e，+∞）

Answer 1

分析 函数f（x）=e^x+mx是区间[0，1]上的平均值函数，故有e^x+mx=$\frac{f（1）-f（0）}{1-0}$在（0，1）内有实数根，进而可求出实数m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=e^x+mx是区间[0，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程e^x+mx=$\frac{f（1）-f（0）}{1-0}$在（0，1）内有实数根．
即e^x+mx=e+m-1在（0，1）内有实数根．
即e^x=-mx+e+m-1在（0，1）内有实数根．
由y=-mx+e+m-1表示过P（1，e-1）斜率为-m的直线，
y=e^x，x∈[0，1]过A（0，1），B（1，e）点，
由PA的斜率为e-2，PB的斜率不存在，可得：
-m∈（-∞，e-2），
故m∈（2-e，+∞），
故选：D

点评 本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．