题目内容

在△ABC中，已知tan
A+B
2
=sinC，给出以下四个论断：
（1）tanAcotB=1；
（2）1＜sinA+sinB≤
2

（3）sin2A+cos2B=1；
（4）cos2A+cos2B=sin2C；
其中正确论断的个数是（　　）
分析：利用三角函数的相应公式分别进行化简证明，即可判断出答案．
解答：解：（1）由tan
A+B
2
=sinC，得
sin?
A+B
2
cos?
A+B
2
=sin?(A+B)=2sin
A+B
2
cos?
A+B
2


即sin?
A+B
2
=2sin
A+B
2
cos?2
A+B
2
．
所以整理求得cos（A+B）=0
∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，所以（1）不正确．
（2）sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin（A+45°）
∵45°＜A+45°＜135°，∴
2
2
＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤
2
，所以（2）正确．
（3）sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故（3）不正确．
（4）cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以（4）正确．
综上知（2）（4）正确．
故选B．
点评：本题主要考查三角函数的化简与求值，考查学生的运算能力．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D为线段BC上一点，
AD
•
BC
=0，H是△ABC的垂心，且
AH
=3
HD
．
（Ⅰ）求点H的轨迹M的方程；
（Ⅱ）若过C点且斜率为-
1
2
的直线与轨迹M交于点P，点Q（t，0）是x轴上任意一点，求当△CPQ为锐角三角形时t的取值范围．

在△ABC中，已知三边a，b，c成等差数列，且有sinB＋cosB＝t，则t的取值范围是

[　　]

A．(0，)
B．(1，)
C．(0，1)
D．(，＋∞)

在△ABC中，已知B(－3，0)，C(3，0)，D为线段BC上一点，是△ABC的垂心，且．

(1)求点H的轨迹M的方程；

(2)若过C点且斜率为的直线与轨迹M交于点P，点Q(t，0)是x轴上任意一点，

求：当△CPQ为锐角三角形时t的取值范围．
在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D为线段BC上一点，，H是△ABC的垂心，且．
（Ⅰ）求点H的轨迹M的方程；
（Ⅱ）若过C点且斜率为的直线与轨迹M交于点P，点Q（t，0）是x轴上任意一点，求当△CPQ为锐角三角形时t的取值范围．

 

在△ABC中，已知．

  (Ⅰ) 求证： ｜｜＝｜｜；

(Ⅱ) 若｜＋｜＝｜－｜＝，求｜－t｜的最小值以及相应的t的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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