Question

某地兴建一休闲商业广场，欲在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形的商业楼区，余下作为休闲区域，已知AB⊥BC，OABC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，应如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？

Answer 1

解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2，4）
设抛物线方程为 x²=2py，代入点C（2，4）得，
所以抛物线C方程为y=x²（0≤x≤2）
设P（x，x²），|PQ|=2+x，|PN|=4﹣x²
S=|PQ|×|PN|=（2+x）（4﹣x²）=8﹣x³﹣2x²+4x
由S'=﹣3x²﹣4x+4=0，得或x₂=﹣2
因为0≤x＜2，所以
当时，S'＞0，S是x的增函数
当时，S'＜0，S是x的减函数
所以，当时，S取得最大值                            
此时，，
故把商业楼区规划成长为，宽为的矩形时，用地面积可最大