Question

（2012•湖北模拟）某地兴建一休闲商业广场，欲在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形的商业楼区，余下作为休闲区域，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，应如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？

Answer 1

分析：以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，从而可求抛物线C方程，设出P的坐标，表示出用地面积，利用导数法，即可求得用地面积最大．

解答：解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2，4）
设抛物线方程为 x²=2py，代入点C（2，4）得p=

1

2

，
所以抛物线C方程为y=x²（0≤x≤2）
设P（x，x²），|PQ|=2+x，|PN|=4-x²
S=|PQ|×|PN|=（2+x）（4-x²）=8-x³-2x²+4x（6分）
由S'=-3x²-4x+4=0，得x1=

2

3

或x₂=-2
因为0≤x＜2，所以x=

2

3

当x∈[0，

2

3

)时，S'＞0，S是x的增函数
当x∈[

2

3

，2)时，S'＜0，S是x的减函数
所以，当x=

2

3

时，S取得最大值                            （10分）
此时，|PQ|=2+

2

3

=

8

3

，|PN|=4-(

2

3

)2=

32

9

故把商业楼区规划成长为

32

9

km，宽为

8

3

km的矩形时，用地面积可最大（13分）

点评：本题考查抛物线的运用，考查面积的最值，解题的关键是建立平面直角坐标系，正确表示出用地面积．