Question

抛物线P：x²=2py上一点Q（m，2）到抛物线P的焦点的距离为3，A、B、C、D为抛物线的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），-x＜x₁＜x＜x₂，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线．
（1）求p的值；
（2）证明：∠BAC的角平分线在直线AD上；
（3）D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m+n=，△ABC的面积为48，求直线BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|QF|=3=2+，能求出p．
（2）由抛物线方程为x²=4y，知A（），D（），B（），C（），由，知，由此能推导出∠BAC的角平分线在直线AD上．
（3）设∠BAD=∠CAD=α，则m=n=|AD|sinα，．由此能推导出直线BC的方程．
解答：解：（1）∵|QF|=3=2+∴p=2（2分）
（2）∴抛物线方程为x²=4y
A（），D（），B（），C（）∵
∴∴x₁+x₂=2x∵
∴
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，所以∠BAD=∠CAD∴∠BAC的角平分线在直线AD上（6分）
（3）设∠BAD=∠CAD=α
则m=n=|AD|sinα∴，∵∴即
把l_AC：与抛物线方程x²=4y联立的x²-4x-4x-x²=0∴-xx₂=-4x-x²∴x₂=x+4
同理可得x₁=x-4∵-x＜x-4＜x∴x＞2∴
∴x=4（10分）∴B（0，0）∴l_BC：y=2x（12分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．