Question

在△ABC中，C是直角，则sin²A+2sinB（ ）
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值

Answer 1

【答案】分析：根据题意可得0＜B＜，并且sinB∈（0，1），对所求进行化简可得-sin²B+2sinB+1，进而利用换元的方法得到二次函数y=-t²+2t+1，t∈（0，1），再利用二次函数的性质解决问题即可．
解答：解：因为在△ABC中，C是直角，
所以A+B=，所以A=．
由题意可得0＜B＜，所以sinB∈（0，1）
所以sin²A+2sinB=cos²B+2sinB=-sin²B+2sinB+1，
设t=sinB，则t∈（0，1），
所以原函数为：y=-t²+2t+1，t∈（0，1），
因为函数的对称轴t=1，
所以函数没有最值，即sin²A+2sinB没有最值．
故选D．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握三角函数的有关概念，以及掌握利用换元的方法借助于其它函数研究原函数的最值，在换元时一定是等价换元．