Question

在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，C=

π

3

．若

OD

=a

OE

+b

OF

，且D、E、F三点共线（该直该不过点O），则△ABC周长的最小值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  5

  4

• C．

  3

  2

• D．

  9

  4

Answer 1

分析：利用三点共线的性质，可得a+b=1，再利用余弦定理结合基本不等式可求c的最小值，从而可得结论．

解答：解：∵

OD

=a

OE

+b

OF

，且D、E、F三点共线（该直该不过点O），
∴a+b=1（a＞0，b＞0），∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

∵c²=a²+b²-2abcosC，C=

π

3

，
∴c²=1-3ab≥1-

3

4

=

1

4

∴当且仅当a=b=

1

2

时，c取得最小值

1

2

∴△ABC周长的最小值是

3

2

故选C．

点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，属于中档题．