Question

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，以BD为棱折成直二面角A-BD-C，P是AB上的一点，若二面角P-CD-B为60°，则AP=

 

．

Answer 1

分析：由已知中△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，以BD为棱折成直二面角A-BD-C，P是AB上的一点，若二面角P-CD-B为60°，我们易得∴∠PAB即二面角P-CD-B的平面角，解三角形PAD，即可求出AP的长．

解答：解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则翻折后CD⊥平面ABD
则CD⊥AD，CD⊥PD
∴∠PAB即二面角P-CD-B的平面角等60°，
∴在△PAD中，AD=

2

2

a，∠A=45°，∠APD=105°
由正弦定理易得AP=

3 -1

2

a
故答案为：

3 -1

2

a

点评：本题考查的知识是二面角的平面角及求法，其中根据∴PAB即二面角P-CD-B的平面角等60°，将问题转化为解三角形问题是解答本题的关键．