Question

16．已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 利用坐标表示$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$，求出$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的余弦值，从而得出A的正弦值，再计算△ABC的面积．

解答 解：∵A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，1，3），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1×2+1×1+1×3=6，
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{14}$；
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{6}{\sqrt{3}×\sqrt{14}}$=$\sqrt{\frac{6}{7}}$；
即cosA=$\sqrt{\frac{6}{7}}$，
∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$；
△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|sinA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{14}$×$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算的应用问题，也考查了求三角形的面积问题，是基础题目．