Question

若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.

    （Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；

    （Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；

（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在 ，数列为等差数列.

Answer 1

  （Ⅰ）证明：由，可得，，

所以，

所以对任意，．

又数列为递减数列，所以对任意，．

所以数列为“数列”．

（Ⅱ）证明：假设存在正整数，使得．

由数列的各项均为正整数，可得．

由，可得．

且．

同理，

依此类推，可得，对任意，有．

因为为正整数，设，则.

　　　在中，设，则．

与数列的各项均为正整数矛盾．

所以，对任意，.

（Ⅲ）因为数列为“数列”，

所以，存在常数，对任意，．

设．

由（Ⅱ）可知，对任意，，

则．

若，则；若，则．

而时，有．

所以，，，…，，…，中最多有个大于或等于，

否则与矛盾．

所以，存在，对任意的，有．

所以，对任意， ．

所以，存在 ，数列为等差数列.