Question

已知函数，，其中．

(1)若是函数的极值点，求实数的值；

(2)若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

试题分析：(1)先求导，根据题意 (2)可将问题转化为≥，分别求导令导数大于0、小于0得单调性，用单调性求最值。在解导数大于0或小于0的过程中注意对的讨论。

试题解析：(1)解法1：∵，其定义域为，

∴． ∵是函数的极值点，∴，即．

∵，∴． 经检验当时，是函数的极值点，∴．、

解法2：∵，其定义域为，

∴． 令，即，整理，得．

∵，

∴的两个实根（舍去），，

当变化时，，的变化情况如下表：

依题意，，即，∵，∴．

(2)对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．当［1，］时，．

∴函数在上是增函数．∴．

∵，且，．

①当且［1，］时，，

∴函数在［1，］上是增函数，

∴.由≥，得≥，又，∴不合题意．

②当1≤≤时，

若1≤＜，则，若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．

③当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．

∴.由≥，得≥，

又，∴．

综上所述，的取值范围为．

考点：用导数求极值和最值。