Question

已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1,1)                                  B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1)                       D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

Answer 1

解：∵函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，

设x₁、x₂≠0，且x₁<x₂，

f(x₁)－f(x₂)＝x₁＋－x₂－

＝(x₁－x₂)＋＝.

(1)当x₁<x₂≤－a或a≤x₁＜x₂时，

x₁－x₂<0，x₁·x₂>a²，

∴f(x₁)－f(x₂)<0，∴f(x₁)<f(x₂)，

∴f(x)在(－∞，－a]上和在[a，＋∞)上都是增函数．

(2)当－a≤x₁<x₂<0或0<x₁<x₂≤a时，x₁－x₂<0，

0<x₁·x₂<a²，∴f(x₁)－f(x₂)>0，∴f(x₁)>f(x₂)，

∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是减函数．