Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a₁=1，．知，a₂=1，所以a_n+1==1×××=，由此能求出．
（Ⅱ）由．知n²a_n=，所以T_n=1+4×3+6×3+8×3²+…+2n•3^n-2，再由错位相减法能求出T_n．
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，．
∴，
∴na_n=，
∴，
在a₁=1，，
取n=1，得a₂=1，
∴a_n+1=
=1×××
=，
∴．
（Ⅱ）∵．
∴n²a_n=，
∴T_n=1+4×3+6×3+8×3²+…+2n•3^n-2，①
3T_n=3+4×3+6×3²+8×3³+…+2（n-1）•3^n-2+2n•3^n-1，②
①-②，得-2T_n=-2+4+2×（3+3²+3³+…+3^n-2）-2n×3^n-1
=2+2×-2n×3^n-1
=2+3^n-1-3-2n×3^n-1
=3^n-1-1-2n×3^n-1
∴T_n=+n×3^n-1-．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列的前n项和的计算，解题时要认真审题，注意构造法、累乘法和错位相减法的灵活运用．