Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，上顶点为M（0，1），点P是椭圆C上的动点（异于A、B），直线AP，BP与直线y=3分别交于两点G、H，且△AMP面积的最大值为1+

2

（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段GH的长度的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，知A（-a，0），直线AM的斜率为

1

a

，|AM|=

a2+1

，b=1，椭圆方程为

x2

a2

+y2=1，当△AMP的面积最大时，过点P的直线l平行于AM且与椭圆相切，由此能椭圆C的方程．
（2）由题意知直线AP的斜率k存在，且k≠0，设直线AP的方程为y=k（x+2），从而G（

3

k

-2，3），由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出线段GH的长度最小值．

解答： 解：（1）由题意，知A（-a，0），直线AM的斜率为

1

a

，
|AM|=

a2+1

，b=1，椭圆方程为

x2

a2

+y2=1，
当△AMP的面积最大时，过点P的直线l平行于AM且与椭圆相切，
设直线l：y=

1

a

x+m，则

y= 1 a x+m x2 a2 +y2=1

，整理，得2x²+2amx+a²（m²-1）=0，
△=4a²m²-8a²（m²-1）=0，解得m=-

2

，或m=

2

（舍），
此时点P到直线AM的距离d=

2 a+a

a2+1

，
∴

1

2

a2+1

×

2 a+a

a2+1

=1+

2

，
解得a=2，∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）由题意知直线AP的斜率k存在，且k≠0，
设直线AP的方程为y=k（x+2），从而G（

3

k

-2，3），
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
设点P（x₁，y₁），则-2•x₁=

16k2-4

1+4k2

，∴x1=

2-8k2

1+4k2

，从而y1=

4k

1+4k2

，
即点P（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），又点B（2，0），
则直线PB的斜率为-

1

4k

，
由

y=- 1 4k (x-2) y=3

，得H（-12k+2，3），
∴|GH|=|

3

k

-2+12k-2|=|

3

k

+12k-4|，
若k＞0，则

3

k

+12k≥2

3 k •12k

=12，
当且仅当

3

k

=12k，即k=

1

2

时，等号成立，
此时|GH|=|

3

k

+12k-4|≥8，k＜0，
此时|GH|=|

3

k

+12k-4|≥8，
若k＜0，则

3

k

+12k=-(

3

-k

-12k)≤-2

3 -k •(-12k)

=-12，
当且仅当

3

-k

=-12k，即k=-

1

2

时，等号成立，
此时|GH|=|

3

k

+12k-4|≥16，
综上，线段GH的长度最小值为8．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．