Question

17．已知△ABC的顶点A、B的坐标分别为（-$\sqrt{3}$，0）、（$\sqrt{3}$，0），C为动点，且满足sinB+sinA=$\sqrt{2}$sinC．
（1）求点C的轨迹L的方程；
（2）设M（x₀，y₀）是曲线L上的任一点，从原点O向圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=2作两条切线，分别交曲线L于点P、Q．
①若直线OP、OQ的斜率均存在，并记为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
②试问OP²+OQ²是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和椭圆的定义可得，C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有a=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，即可得到所求轨迹方程；
（2））①由直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k₁，k₂为方程（x₀²-2）k²-2x₀y₀k+y₀²-2=0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到所求定值；
②OP²+OQ²为定值9．讨论当直线OP，OQ的斜率均存在时，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用①的结论，结合P，Q在椭圆上，满足椭圆方程，化简整理，由两点的距离公式即可得到定值9；当直线OP，OQ的斜率不存在时，圆M与x，y轴均相切，即可得到定值．

解答 解：（1）由sinB+sinA=$\sqrt{2}$sinC，可得|CA|+|CB|=$\sqrt{2}$|AB|，
即有|CA|+|CB|=2$\sqrt{6}$＞2$\sqrt{3}$，
即有C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且a=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得轨迹L的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）；
（2）①证明：由直线OP：y=k₁x与圆M相切，可得$\frac{|{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
即有（x₀²-2）k₁²-2x₀y₀k₁+y₀²-2=0，
同理由直线OQ：y=k₂x与圆M相切，
可得（x₀²-2）k₂²-2x₀y₀k₂+y₀²-2=0，
即k₁，k₂为方程（x₀²-2）k²-2x₀y₀k+y₀²-2=0的两个不等的实根，
可得k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-2}{{{x}_{0}}^{2}-2}$，
由M在椭圆上，可得$\frac{{x}_{{0}^{2}}}{6}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即为y₀²=3-$\frac{1}{2}$x₀²，
即有k₁k₂=$\frac{1-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-2}$=-$\frac{1}{2}$；
②OP²+OQ²为定值9．
理由如下：当直线OP，OQ的斜率均存在时，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，即y₁²y₂²=$\frac{1}{4}$x₁²x₂²，
由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在椭圆上，可得
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
即y₁²=3-$\frac{1}{2}$x₁²，y₂²=3-$\frac{1}{2}$x₂²，
则（3-$\frac{1}{2}$x₁²）（3-$\frac{1}{2}$x₂²）=$\frac{1}{4}$x₁²x₂²，
即有x₁²+x₂²=6，
y₁²+y₂²=（3-$\frac{1}{2}$x₁²）+（3-$\frac{1}{2}$x₂²）=6-3=3，
即OP²+OQ²=9；
当直线OP，OQ的斜率不存在时，圆M与x，y轴均相切，
显然有OP²+OQ²=9．
综上可得，OP²+OQ²为定值9．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆定义，以及正弦定理，考查直线和圆心切的条件：d=r，以及点满足椭圆方程，考查两点的距离公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．