Question

设两个向量

a

=(λ+2，λ2-cos2α)和

b

=(m，

m

2

+sinα)，其中λ，m，α为实数．若

a

=2

b

，则

λ

m

的取值范围是（　　）

• A、[-6，1]
• B、[4，8]
• C、（-∞，1]
• D、[-1，6]

Answer 1

分析：利用

a

=2

b

，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解

λ

m

的比值，为了简化，把

λ

m

换元．

解答：解：由

a

=(λ+2，λ2-cos2α)，

b

=(m，

m

2

+sinα)，

a

=2

b

，
可得

λ+2=2m λ2-cos2α=m+2sinα

，
设

λ

m

=k代入方程组可得

km+2=2m k2m2-cos2α=m+2sinα

消去m化简得(

2k

2-k

)2-cos2α=

2

2-k

+2sinα，
再化简得(2+

4

k-2

)2-cos2α+

2

k-2

-2sinα=0
再令

1

k-2

=t代入上式得（sinα-1）²+（16t²+18t+2）=0
可得-（16t²+18t+2）∈[0，4]
解不等式得t∈[-1，-

1

8

]
因而-1≤

1

k-2

≤-

1

8

解得-6≤k≤1．
故选A．

点评：本题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，体现了化归的思想方法．