Question

2．已知变量a，b满足b=2a+$\frac{3}{2}$，若点（m，n）在函数y=-$\frac{1}{2}$x²+3lnx上，则（a-m）²+（b-n）²的最小值为（　　）

• A． $\frac{16}{5}$
• B． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• C． 16
• D． 4

Answer 1

分析 （a，b）在直线上，（m，n）在曲线上，从而转化为曲线上的点到直线距离的最小值的平方．

解答 解：（a-m）²+（b-n）的最小值是$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3lnx$与直线y=2x+$\frac{3}{2}$之间的最小距离的平方．
对$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+3lnx$求导，y′=-x+$\frac{3}{x}$，
与y=2x+$\frac{3}{2}$平行的切线斜率为2=-$x+\frac{3}{x}$，解得x=1或x=-3（舍），
切点为（1，-$\frac{1}{2}$），切点到直线的距离$d=\frac{|2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，
故所求最小值为$（\frac{4}{\sqrt{5}}）^{2}=\frac{16}{5}$
故选：A

点评 本题考查了转化与化归的思想、导数的几何意义及点到直线的距离公式．