Question

【题目】已知等比数列{an}满足an+1+an=92n﹣1 ， n∈N* ． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（n﹣1）an ， 数列{bn}的前n项和为Sn ， 若不等式Sn＞kan+16n﹣26对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q， ∵an+1+an=92n﹣1 ，
∴a2+a1=9，a3+a2=18，
∴q= = =2
又2a1+a1=9，∴a1=3．
∴an=32n﹣1 ． n∈N* ．
（Ⅱ）bn=（n﹣1）an=3（n﹣1）2n﹣1 ．
∴Sn=3×0×20+3×1×21+…+3（n﹣2）×2n﹣2+3（n﹣1）×2n﹣1 ，
∴ Sn=0×20+1×21+…+（n﹣2）×2n﹣2+（n﹣1）×2n﹣1 ，
∴ Sn=0+1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n ，
∴﹣ Sn=21+22+…+2n﹣1﹣（n﹣1）×2n= ﹣1﹣（n﹣1）×2n=（2﹣n）2n﹣2，
∴Sn=3（n﹣2）2n+6，
∵Sn＞kan+16n﹣26，
∴k＜ = =2（n﹣2）﹣ ＜2（n﹣2）（1﹣ ）
令f（n）=2（n﹣2）（1﹣ ）
∴f（1）= ，f（2）=0，
当n≥3时，n﹣2＞0，1﹣ ≥1﹣ = ＞0，
∴f（n）min=f（2）=0，
∴实数k的取值范围为（﹣∞，0）
【解析】（Ⅰ）利用等比数列{an}满足an+1+an=92n﹣1 ， 确定数列的公比与首项，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）利用错误相减法求出Sn ， 再利用不等式Sn＞kan+16n﹣26，分离参数，求最值，即可求实数k的取值范围．