题目内容

已知向量
a
=(
2
sin
x
2
，cos
x
2
-sin
x
2
)，
b
=(
2
cos
x
2
，
3
cos
x
2
+
3
sin
x
2
)，x∈[0，
π
2
]．
（1）若f(x)=
a
•
b
，当函数f（x）取得最大值时，求自变量x的值；
（2）在（1）的条件下，设g（x）=f（x）+|
a
|2，求函数g（x）的值域．
分析：（1）利用向量的数量积公式，及辅助角公式化简函数，结合x∈[0，
π
2
]，即可求得函数的最大值；
（2）先化简函数，再结合角的范围，即可求得函数的值域．
解答：解：（1）∵
a
=(
2
sin
x
2
，cos
x
2
-sin
x
2
)，
b
=(
2
cos
x
2
，
3
cos
x
2
+
3
sin
x
2
)
∴f(x)=
a
•
b
=sinx+
3
cosx=2sin（x+
π
3
）
∵x∈[0，
π
2
]，
∴x+
π
3
∈[
π
3
，
5π
6
]
∴x+
π
3
=
π
2
，即x=
π
6
时，函数取得最大值2；
（2）g（x）=f（x）+|
a
|2=sinx+
3
cosx+(
2
sin
x
2
)2+(cos
x
2
-sin
x
2
)2=（
3
+1）cosx+2
∵x∈[0，
π
2
]，∴cosx∈[0，1]，
∴g（x）∈[2，
3
+3]．
点评：本题考查向量的数量积，考查三角函数的化简，正确化简函数是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(
2
sinx
，
-1
sinx
)，
b
=(1，cos2x)且x∈(0，
π
2
]，
（Ⅰ）若
a
与
b
是两个共线向量，求x的值；
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
，求函数f（x）的最小值及相应的x的值．
已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定义函数f(x)=
a
•
b
-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）在答卷的坐标系中画出函数g(x)=f(x)，x∈[-
π
12
，
11π
12
]的简图，并由图象写出g（x）的对称轴和对称中心．
（2005•东城区一模）已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定义函数f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）画出函数g(x)=f(x)，x∈[-
7π
12
，
5π
12
]的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．
已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(cosx，2cosx)
（1）求f(x)=
a
•
b
，并求f（x）的单调递增区间．
（2）若
c
=(2，1)，且
a
-
b
与
c
共线，x为第二象限角，求(
a
+
b
)•
c
的值．
已知向量
a
=(2sinx，sinx-cosx)，
b
=(cosx，
3
(cosx+sinx))，函数f(x)=
a
•
b
+1
（1）当x∈(
π
4
，
π
2
)时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

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