Question

6．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足$\frac{2c-b}{a}$=$\frac{cosB}{cosA}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得2sinCcosA=sinC，又sinC≠0，即可得cosA=$\frac{1}{2}$，即可求得A的大小．
（2）由正弦定理可得：$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinB$，$c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinC$，可求$l=a+b+c=1+\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinB+sinC）$=$1+2sin（B+\frac{π}{6}）$．又$B∈（0，\frac{2}{3}π）$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
另解：由余弦定理及不等式的解法得1=b²+c²-bc${（b+c）^2}=1+3bc≤1+3{（\frac{b+c}{2}）^2}$，化简得b+c≤2，又△ABC的周长l=a+b+c=1+b+c，从而得解．

解答 解：（1）∵$\frac{2c-b}{a}$=$\frac{cosB}{cosA}$，（2c-b）cosA=acosB，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
∴2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，
∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
在△ABC中，sinC≠0．
∴cosA=$\frac{1}{2}$，$∠A=\frac{π}{3}$． …（5分）
（2）$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinB$，$c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinC$，…（6分）
∴$l=a+b+c=1+\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinB+sinC）$=$1+\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinB+sin（A+B））$=$1+2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）$=$1+2sin（B+\frac{π}{6}）$． …（8分）
又$B∈（0，\frac{2}{3}π）$，∴$B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5}{6}π）$，∴$sin（B+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$，…（9分）
∴l∈（2，3]，故△ABC周长的最大值3，…（10分）
另解：a²=b²+c²-2bccosA得1=b²+c²-bc${（b+c）^2}=1+3bc≤1+3{（\frac{b+c}{2}）^2}$，
化简得b+c≤2，又△ABC的周长l=a+b+c=1+b+c．
故△ABC周长的最大值3．，…（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．