Question

9．已知动点A（2，0），B（4，0），动点P在抛物线y²=-4x上运动，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$取得最小值时的点P的坐标是（0，0）．

Answer 1

分析 根据题意，点P的坐标为（-$\frac{1}{4}$t²，t），从而得到向量$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$关于t的坐标形式，算出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2）（-$\frac{1}{4}$t²-4）+t²=$\frac{1}{16}$t⁴+$\frac{5}{2}$t²+8．再根据平方非负的性质加以计算，可得当点P与原点重合时$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值为8，求得此时P的坐标．

解答 解：由点P在抛物线y²=-4x上移动，
设点P的坐标为（-$\frac{1}{4}$t²，t），
∵A（2，0）、B（4，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2，t），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-4，t），
根据向量数量积的公式，
可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{1}{4}$t²-2）（-$\frac{1}{4}$t²-4）+t²=$\frac{1}{16}$t⁴+$\frac{5}{2}$t²+8，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$≥8，
$\frac{1}{16}$t⁴≥0且t²≥0，当且仅当t=0时即P坐标为（0，0）时，等号成立．
即当点P与原点重合时$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值为8．
故答案为：（0，0）．

点评 本题给出定点A、B的坐标与抛物线上的动点P，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最小值，着重考查了向量数量积的坐标公式、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．