Question

20．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$（n∈N₊）
（1）证明：数列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列，求它的前n项和S_n及a_n
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$（n∈N₊）变形可知$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，进而可知数列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}是首项为2、公差为1的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n，进而利用分组法求和计算即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$（n∈N₊），
∴$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{2}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}是首项为2、公差为1的等差数列，
∴$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{n+1}$，S_n=$\frac{n（2+n+1）}{2}$=$\frac{n（n+3）}{2}$；
（2）解：由（1）可知S_n=$\frac{n（n+3）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n，
∴T_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{6}$•n（n+1）（2n+1）+$\frac{3}{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n（n+1）（n+5）}{6}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．