Question

a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a．如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，则a的取值范围是

（-∞，

-3- 7

2

]∪[1，+∞）

．

Answer 1

分析：先确定a≠0，将f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，转化为

1

a

=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上有解，求出函数y=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上的值域，即可确定a的取值范围．

解答：解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
∵f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，∴（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解
∴

1

a

=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上有解，
问题转化为求函数y=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上的值域．
设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x=3-t，t∈[1，5]，
∴y=

1

2

（t+

7

t

-6），
设 g（t）=t+

7

t

，∴g′（t）=1-

7

t2

，t∈[1，

7

）时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
t∈（

7

，5]时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是[

7

-3，1]，
∴

1

a

∈[

7

-3，1]，
∴a≥1或a≤

-3- 7

2

．
故答案为（-∞，

-3- 7

2

]∪[1，+∞）．

点评：本题考查二次函数在给定区间上的零点问题，解题的关键是分离参数，转化为

1

a

=

2x2-1

3-2x

在[-1，1]上有解，属于中档题．